Курт Гёдель и его теорема о неполноте

[МК] Эта заметка – краткий реферат, или даже «заметки на полях» читателя, заинтересовавшегося знаменитой теоремой Гёделя о неполноте и непротиворечивости формальных систем. Приношу извинения математикам за чрезвычайное упрощение материй, которых я не изучил в первоисточнике, и за обсуждение философских следствий теоремы Гёделя, которых, как говорят во многих публикациях, у неё будто и вовсе нет. Но так уж получилось, что методологический аппарат науки интересен мне и многим другим людям не столько сам по себе, сколько в связи с человеком, его местом в мире и его отношением к миру.

Все источники, которые перечислены в конце заметки, заслуживают внимательного изучения, несмотря на подчас радикальное различие точек зрения. Особенная моя благодарность – Дугласу Хофштадтеру и его книге «Гёдель, Эшер, Бах», которая привела меня к музыке Баха, Прокофьева и Рахманинова.

Когда речь заходит о самых выдающихся открытиях ХХ века, обычно называют теорию относительности Эйнштейна, квантовую механику, принцип неопределенности Гейзенберга. Однако многие крупные ученые — математики и философы — к числу величайших достижений научной мысли минувшего столетия относят и теорему Гёделя. Работа Гёделя поставила вопрос о природе человеческого мышления и границах познания и оказала глубокое влияние на мировоззрение и культуру нашей эпохи – в особенности, на математику, логику и философию.

Кто же такой Гёдель?

Курт Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Австро-Венгрии, в чешском городе Брно. В 18 лет он поступил в Венский университет, где сначала изучал физику, но через два года переключился на математику. Известно, что такая смена научных интересов произошла во многом под влиянием книги Бертрана Рассела «Введение в философию математики». Еще одним источником, оказавшим существенное влияние на формирование Гёделя как ученого, было его участие в работе «Венского кружка». Под этим именем в историю науки вошло собрание блестящих ученых — математиков, логиков, философов, которые регулярно собирались в Вене с конца 20-х и до середины 30-х гг. прошлого века. Тематика кружка охватывала осмысление общего места научного знания в познании природы и общества.

Курт Гёдель принимал участие практически во всех «четверговых» заседаниях кружка и в организованных им международных конференциях. Деятельность кружка в Австрии прервалась в 1936 году, когда его руководитель Мориц Шлик был убит студентом-нацистом на ступенях Венского университета. Большинство членов кружка эмигрировали в США. Туда же перебрался и Курт Гёдель. Со временем он получил американское гражданство. Его друг Альберт Эйнштейн выступил поручителем Гёделя при получении им гражданства. Позже учёный работал в Институте высших исследований в Принстоне. 

Несмотря на 27-летнюю разницу в возрасте и несовместимость темпераментов, Курт быстро сблизился с Эйнштейном. Каждый день их видели идущими вместе в Институт и обратно, увлеченными разговором, причем говорил в основном Гёдель. Известный математик Арман Борель вспоминал: «Я не знаю, о чем они разговаривали; наверное, о физике, ведь Гёдель в молодости занимался физикой. Больше они ни с кем не общались, разговаривали только друг с другом». А экономист Оскар Моргенштерн позже пересказал слова Эйнштейна: «Моя работа теперь не имеет никакого значения. Я хожу в Институт только для того, чтобы иметь удовольствие возвращаться домой вместе с Гёделем».

Что же доказал Гёдель?

Прежде чем перейти к изложению теоремы, обессмертившей имя Гёделя, необходимо хотя бы вкратце рассказать о том, перед какими проблемами оказалась к концу 20-х годов прошлого века математика, точнее, ее раздел, выделившийся на рубеже XIX—ХХ вв. и получивший название «основания математики».

Но вначале, пожалуй, стоит остановиться на школьном курсе геометрии, который и сейчас во многом повторяет «Начала» Евклида, написанные более 2 тыс. лет тому назад. В традиционных учебниках геометрии сначала приводятся некоторые утверждения (аксиомы) о свойствах точек и прямых на плоскости, из них путем логического построения выводится справедливость разных важных и полезных геометрических фактов (теорем). Например, одна из аксиом утверждает, что через две точки проходит одна и только одна прямая. Истинность аксиом принимается как нечто очевидное и не требующее доказательств. Заслуга греческого геометра в том, что он постарался изложить всю науку о пространственном расположении фигур как набор следствий, вытекающих из нескольких базовых положений.

Успех методики Евклида побудил ученых распространить его принципы и на другие разделы математики. После геометрии настала очередь арифметики. В 1889 году итальянский математик Джузеппе Пеано впервые сформулировал аксиомы арифметики, казавшиеся до смешного очевидными. Они играли ту же роль, что и постулаты великого грека в геометрии. Исходя из подобных утверждений, с помощью логического рассуждения можно было получить основные арифметические теоремы. Аксиомы Пеано:

1. Ноль есть натуральное число.
2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным.
3. Ноль не следует ни за каким натуральным числом.
4. Всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом.
5. Если множество А содержит ноль и содержит следующее число для любого числа, принадлежащего этому множеству, то множество А содержит все натуральные числа.

В тот же период немецкий математик Готлиб Фреге выдвинул еще более амбициозную задачу. Он предложил не просто аксиоматически утвердить основные свойства исследуемых объектов, но и формализовать, кодифицировать сами методы рассуждений, что позволяло записать любое математическое рассуждение по определенным правилам в виде цепочки символов.

Английскому математику Бертрану Расселу удалось вывести вариант формальной системы, позволяющий охватить всю математику и свободный от всех известных к тому времени парадоксов, с опорой на идеи и работы Фреге. Полученный им результат, опубликованный в 1902 году в книге Principia Mathematica (написанной совместно с Алфредом Нортом Уайтхедом), фактически стал аксиоматизацией логики, а Давид Гильберт считал, что его «можно рассматривать как венец всех усилий по аксиоматизации науки».

Была и еще одна причина столь пристального интереса математиков к основаниям своей дисциплины. Дело в том, что на рубеже XIX и ХХ столетий в теории множеств были обнаружены противоречия, для обозначения которых был придуман эвфемизм «парадоксы теории множеств». Для большинства ученых было очевидно, что за открытием новых странностей дело не станет. Их появление оказало на математический мир, по выражению Давида Гильберта, «катастрофическое воздействие», поскольку теория множеств играла роль фундамента, на котором возводилось всё здание науки о числах.

Таким образом, впервые за три тысячелетия математики вплотную подошли к изучению самых глубинных оснований своей дисциплины. Сложилась любопытная картина: математики научились четко объяснять, по каким правилам они ведут свои вычисления, им оставалось лишь доказать «законность» принятых ими оснований с тем, чтобы исключить любые сомнения, порождаемыми злополучными парадоксами.

И в первой половине 20-х годов великий Гильберт, вокруг которого сложилась к тому времени школа блестящих последователей, в целой серии работ наметил план исследований в области оснований математики, получивший впоследствии название «Геттингенской программы». В максимально упрощенном виде ее можно изложить следующим образом: математику можно представить в виде набора следствий, выводимых из некоторой системы аксиом, и доказать, что:

1. Математика является полной, т.е. любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины.
2. Математика является непротиворечивой, т.е. нельзя доказать и одновременно опровергнуть какое-либо утверждение, не нарушая принятых правил рассуждения.
3. Математика является разрешимой, т.е., пользуясь правилами, можно выяснить относительно любого математического утверждения, доказуемо оно или опровержимо.

Фактически, программа Гильберта стремилась выработать некую общую процедуру для ответа на все математические вопросы или хотя бы доказать существование таковой. Сам ученый был уверен в утвердительном ответе на все три сформулированные им вопроса: по его мнению, математика действительно была полной, непротиворечивой и разрешимой. Оставалось только это доказать.

Более того, Гильберт полагал, что аксиоматический метод может стать основой не только математики, но и науки в целом. В 1930 году в статье «Познание природы и логика» он писал: «… даже в самых обширных по своему охвату областях знания нередко бывает достаточно небольшого числа исходных положений, обычно называемых аксиомами, над которыми затем чисто логическим путем надстраивается всё здание рассматриваемой теории».

Какими были бы для дальнейшего развития науки последствия успеха Гильберта и его школы? Если бы, как он считал, вся математика (и наука в целом) сводилась к системе аксиом, то их можно было бы ввести в вычислительную машину, способную по программе, следующей общим логическим правилам, обосновать любое утверждение (то есть доказать теорему), вытекающее из исходных утверждений. Вслед за математикой «аксиоматическая эпоха» наступила бы в физике, химии, биологии и, наконец, очередь дошла бы и до науки о человеческом сознании.

Однако «вселенская аксиоматизация» не состоялась. Вся суперамбициозная, грандиозная программа, над которой несколько десятилетий работали крупнейшие математики мира, была опровергнута одной-единственной теоремой. Ее автором был Курт Гёдель, которому к тому времени едва исполнилось 25 лет.

В 1931 году он опубликовал статью «О принципиально неразрешимых положениях в системе Principia Mathematica и родственных ей системах». Центральным пунктом его работы были формулировка и доказательство теоремы о неполноте. Наиболее распространенная, хотя и не вполне строгая ее формулировка утверждает, что «для любой непротиворечивой системы аксиом существует истинное утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто». Тем самым Гёдель дал отрицательный ответ на первое утверждение, сформулированное Гильбертом. При этом, известно, что Гёдель поддерживал устремления Гильберта и не стремился опровергнуть его результаты.

[МК] Если истинное, но недоказуемое в рамках данной системы аксиом утверждение (утверждение Гёделя) добавить к исходному набору аксиом (то есть, расширить набор постулатов и сделать систему аксиом «более мощной»), то даже после этого можно выявить бесконечно много новых Гёделевских утверждений. Это продолжается бесконечно, что доказывает невозможность избавиться от Гёделевских утверждений путем добавления их в набор аксиом.

Рисунок и цитата из книги Дугласа Хофштадтера «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда»

“Множество теорем изображено в виде дерева, чей ствол — множество аксиом. Символ дерева был выбран из-за того, что оно растет «рекурсивно»: новые ветви (теоремы) вырастают из старых. Пальцеобразные ветви проникают во все уголки области, представляющей множество истинных высказываний, однако они не могут занять эту область целиком. Граница между областями истинных и ложных высказываний представляет собой изломанную «береговую линию», которая, как бы близко вы ее не рассматривали, всегда имеет еще более мелкие уровни структуры и таким образом, не поддается описанию каким-либо конечным методом. Отраженное дерево справа представляет отрицания теорем все они ложны, но вкупе они не в состоянии заполнить всю область ложных высказываний.”

Выводы Гёделя произвели в математическом сообществе эффект интеллектуальной бомбы. Тем более что вскоре на их основе были получены опровержения двух других пунктов программы Гильберта. Оказалось, что математика неполна, неразрешима, и ее непротиворечивость нельзя доказать (в рамках той самой системы, непротиворечивость которой доказывается).

Теорема Гёделя о неполноте

С тех пор прошло три четверти века, но споры о том, что же всё-таки доказал Гёдель, не утихают. Особенно жаркие прения идут в околонаучных кругах. «Теорема Гёделя о неполноте является поистине уникальной. На нее ссылаются всякий раз, когда хотят доказать «всё на свете» — от наличия богов до отсутствия разума», — пишет выдающийся современный математик В. А. Успенский.

[МК] Действительно, теорема Гёделя о неполноте – это теорема о свойствах конкретной формальной системы – арифметики Пеано (это один из способов аксиоматического описания натуральных чисел – выше приведен перечень пяти аксиом Пеано). С другой стороны, стремление к применению принципа подобия, оставленного наукой эзотерике, как мне кажется, является неотъемлемым свойством человеческого мышления. В самом деле, несколькими абзацами выше мы читали о том, что Давид Гильберт считал аксиоматический метод применимым к любым областям человеческого знания, и ведь никто его не обвинил в излишнем обобщении. Он ведь тоже исходил из своего опыта в ограниченной области знания – в математике – и не имел доказательств справедливости своего суждения в применении, скажем, к химии, не говоря уже о биологии и о социальных науках. Если вспомнить о древности, мы увидим, что древнегреческие мыслители оттачивали логику, занимаясь геометрией – узкоспециальной дисциплиной.

Мне думается, что через улавливание подобий явлений мира, через возникающие сами собой в сознании ассоциации человеку даётся озарение – интуитивное обладание знанием, которое человек не может доказать. Далее в статье мы увидим, что такая точка зрения близка многим исследователям.

Если оставить в стороне многочисленные спекуляции, то нужно отметить, что ученые разделились в вопросе оценки роли Гёделя на две группы. Одни вслед за Расселом считают, что знаменитая теорема, которая легла в основу современной математической логики, тем не менее, оказала весьма незначительное влияние на дальнейшую работу за пределами данной дисциплины — математики как доказывали свои теоремы в «догёделевскую» эпоху, так и продолжают доказывать их и по сей день.

Что же касается фантасмагорического видения компьютеров, непрерывно выводящих всё новые теоремы, то смысл подобной деятельности у многих специалистов вызывает большое сомнение. Ведь для математики важна не только формулировка доказанной теоремы, но и ее понимание, поскольку именно оно позволяет выявить связь между различными объектами и понять, в каком направлении можно двигаться дальше. Без такого понимания теоремы, генерируемые на основе правил формализованного вывода, представляют собой лишь своего рода «математический спам».

Похожим образом рассуждал и сам Гёдель. Тем, кто упрекал его в разрушении целостности фундамента математики, Гёдель отвечал, что по сути ничего не изменилось, основы остались по-прежнему незыблемыми, а его теорема привела лишь к переоценке роли интуиции и личной инициативы в той области науки, которой управляют железные законы логики, оставляющие, казалось бы, мало места для подобных достоинств.

Однако некоторые ученые придерживаются другого мнения. Действительно, если считать умение логически рассуждать основной характеристикой человеческого разума или, по крайней мере, главным его инструментом, то теорема Гёделя прямо указывает на ограниченность возможностей нашего мозга. Человеку, воспитанному на вере в бесконечное могущество мысли, трудно принять тезис о пределах ее власти.

[МК] Чтобы проиллюстрировать полярность точек зрения современных исследователей на интерпретацию теоремы Гёделя в применении к человеческому мышлению, приведу две цитаты. Одна из них проливает свет на воззрения самого Курта Гёделя.

«Следует согласиться, что результаты, полученные Гёделем, весьма интересны и значимы: они демонстрируют границы формализации простейшей арифметики, а также описывают определённые свойства формальных систем (например, взаимосвязь непротиворечивости, выразительности и полноты). Однако, следует заметить, что помимо прояснения ситуации с формализацией арифметики, данная теорема породила немалое количество неясностей, которые в дальнейшем повлекли за собой достаточно спорные и малообоснованные интерпретации, вплоть до ограниченности или же, наоборот, безграничности человеческого разума. Причём источник подобных интерпретаций сложно отследить. Например, В.В.Целищев в статье «Рационалистический оптимизм и философия Курта Гёделя» пишет о теоремах о неполноте, что они «по общему признанию, имеют важные философские следствия о пределах возможностей человеческого мышления». Представляется весьма странным, что математическая или логико-математическая теорема (пусть даже фундаментальная) действительно имеет своим следствием какие-либо сведения о таком сложнейшем феномене, как человеческое мышление.»

Шкорубская Е.Г. – Проблемное поле теорем Гёделя о неполноте

«Что касается экстраполяции от математики к философии, то тут лишь немногие философы могут последовать за Геделем. Дело в том, что философский идеализм Геделя психологически связан с его откровенным мистицизмом, который не является непременным ингредиентом рационального мышления. Хотя мистицизм Геделя проявлялся в его философских взглядах, но сам по себе он выражался им и в более простых терминах. В этом отношении весьма характерно признание Р. Рукера, математика и писателя, который среди немногих имел шанс поговорить с Геделем. «Я спросил Геделя, верит ли он, что за всеми различными явлениями и действиями в мире стоит единый Ум. Он ответил утвердительно, и что Ум структурирован, но при этом Ум существует независимо от индивидуальных свойств. Тогда я спросил, верит ли он, что Ум находится везде, в противоположность тому, что локализуется в мозгах людей. Гедель ответил: “Конечно. Это основа мистического учения”»

Целищев В.В. ­– Рационалистический оптимизм и философия Курта Геделя

Скорее уж речь может идти об ограниченности наших представлений о собственных ментальных возможностях. Многие специалисты полагают, что формально-вычислительные процессы, лежащие в основе логического мышления, составляют лишь часть человеческого сознания. Другая же его область, принципиально «невычислительная», отвечает за такие проявления, как интуиция, творческие озарения и понимание. И если первая половина разума подпадает под гёделевские ограничения, то вторая от подобных рамок свободна.

[МК] Процитирую здесь Юрия Солодухина (лекция в МГУ «Методология социального познания А.А.Зиновьева»): «Полная формализация научного знания в целом принципиально невозможна, если понимать под формализацией построение знания на основе дедуктивной логики. Однако формализация сама по себе не есть критерий подлинной научности. И теорема Гёделя, и теорема Тьюринга говорят лишь о том, что способность человека к познанию, пониманию невозможно свести к набору правил вычисления. В человеческом интеллекте есть нечто, что невозможно воспроизвести с помощью компьютера. Теоремы очертили пределы применения определённого типа интеллекта, но не познавательных способностей человека в целом.»

[МК] Еще одна цитата: «Ни строгое определение понятий, ни доказательство не являются продуктивными путями обретения принципиально нового знания».

Игорь Гарин – Математическая логика и теорема Курта Гёделя

Наиболее последовательный сторонник подобной точки зрения — крупнейший специалист в области математики и теоретической физики Роджер Пенроуз — пошел еще дальше. Он предположил существование некоторых квантовых эффектов невычислительного характера, обеспечивающих реализацию творческих актов сознания. И хотя многие его коллеги критически относятся к идее наделить человеческий мозг гипотетическими квантовыми механизмами, Пенроуз со своими сотрудниками уже разработал схему эксперимента, который должен, по их мнению, подтвердить их наличие.

Одним их многочисленных следствий гипотезы Пенроуза может стать, в частности, вывод о принципиальной невозможности создания искусственного интеллекта на основе современных вычислительных устройств, даже в том случае, если появление квантовых компьютеров приведет к грандиозному прорыву в области вычислительной техники. Дело в том, что любой компьютер может лишь всё более детально моделировать работу формально-логической, «вычислительной» деятельности человеческого сознания, но «невычислительные» способности интеллекта ему недоступны.

Такова лишь небольшая часть естественнонаучных и философских споров, вызванных опубликованной 75 лет назад математической теоремой молодого Гёделя. Вместе с другими великими современниками он заставил человека иначе взглянуть на окружающий мир и на самого себя. Величайшие открытия первой трети ХХ века, в том числе теорема Гёделя, а также создание теории относительности и квантовой теории, показали ограниченность механистически-детерминистской картины природы, созданной на основе научных исследований двух предшествующих столетий. Оказалось, что и пути развития мироздания, и нравственные императивы подчиняются принципиально другим закономерностям, где имеют место и неустранимая сложность, и неопределенность, и случайность, и необратимость.

Однако последствия великого научного переворота не исчерпываются уже упомянутыми. К началу ХХ века идеи лапласовско-ньютоновского детерминизма оказывали огромное влияние на развитие общественных наук. Вслед за корифеями классического естествознания, представлявшими природу в виде жесткой механической конструкции, где все элементы подчиняются строгим законам, а будущее может быть однозначно предсказано, если известно текущее состояние, деятели общественных наук рисовали человеческое общество, подчиненное непреложным закономерностям и развивающееся в заранее заданном направлении.

Постепенно, с огромным трудом, идеи о сложности, случайности, неопределенности, утвердившиеся в естественнонаучной картине мироздания, стали проникать и в социальные и гуманитарные науки. В обществе непредрешенность реализуется через феномен личной свободы индивидуума. Именно присутствие в природе человека в качестве субъекта, осуществляющего вольный и непредсказуемый выбор, делает исторический процесс сложным и не подчиняющимся никаким непреложным законам вселенского развития.

Подготовлено с использованием:

Хавьер Фресан – Математическая логика и её парадоксы (https://dom-knig.com/read_226039-1)

Дуглас Хофштадтер ­– Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда (https://www.litmir.me/br/?b=138924&p=1)

Александр Музыкантский – Теория противоречивости бытия (https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/430446)

Лекция Юрия Солодухина в МГУ: «Методология социального познания А.А.Зиновьева» (http://zinoviev.info/wps/archives/889)

Игорь Гарин – Математическая логика и теорема Курта Гёделя (https://www.proza.ru/2013/11/21/669)

Шкорубская Е.Г. – Проблемное поле теорем Гёделя о неполноте (http://sn-philcultpol.cfuv.ru/wp-content/uploads/2016/01/020shkarubska.pdf)

Целищев В.В. ­– Рационалистический оптимизм и философия Курта Геделя (http://vphil.ru/index.php?option=com_content&task=view&id=802)